一元二次方程不僅是學(xué)生們邁向更高數(shù)學(xué)思維的重要橋梁，更是培養(yǎng)邏輯推理能力的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。通過精心設(shè)計(jì)的教學(xué)視頻，教師可以將復(fù)雜的概念以生動(dòng)形象的方式呈現(xiàn)，使學(xué)生在探索方程根的過程中，體會(huì)到數(shù)學(xué)的魅力與實(shí)用性。掌握一元二次方程的解法，不僅幫助學(xué)生應(yīng)對(duì)考試挑戰(zhàn)，更為他們未來的學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。

一、內(nèi)容與內(nèi)容解析

（一）內(nèi)容

一元二次方程的含義，以及它的一般形式。

（二）內(nèi)容解析

一元二次方程是基于一元一次方程的“次”的擴(kuò)展，這不僅滿足解決多種實(shí)際問題的需求，還為學(xué)生提供了運(yùn)用勾股定理、相似形等知識(shí)的工具，是二次函數(shù)學(xué)習(xí)的重要基礎(chǔ)。

通過對(duì)多種實(shí)際問題的探討，引導(dǎo)學(xué)生去觀察這些方程所展現(xiàn)的共性，從而總結(jié)出一元二次方程的定義及其標(biāo)準(zhǔn)形式。在這一過程中，學(xué)生能夠通過歸納來識(shí)別具體方程的共同特點(diǎn)，進(jìn)而形成一元二次方程的概念，反映了代數(shù)學(xué)的研究方法；而一元二次方程的一般形式ax2 + bx + c = 0也是基于“元”（未知數(shù)的數(shù)量）、“次數(shù)”和“項(xiàng)數(shù)”等維度進(jìn)行歸納的結(jié)果；其中a ≠ 0的條件則確保了方程為“二次”，為理解一元二次方程的含義提供了有力的支持。

二、目標(biāo)與目標(biāo)解析

（一）教學(xué)目標(biāo)

1. 感知一元二次方程作為表達(dá)實(shí)際問題的重要數(shù)學(xué)模型，初步掌握其概念；

2. 理解一元二次方程的一般形式，能夠?qū)⒁辉畏匠剔D(zhuǎn)化為一般形式。

（二）目標(biāo)解析

1. 通過構(gòu)建一元方程來解決相關(guān)的實(shí)際問題，讓學(xué)生知道未知數(shù)的相乘會(huì)導(dǎo)致方程次數(shù)的提升，從而引入一元二次方程。學(xué)生能舉例說明一元二次方程存在的實(shí)際背景，體會(huì)到一元二次方程作為數(shù)學(xué)模型的重要性，增強(qiáng)學(xué)習(xí)的必要性；

2. 將不同形式的一元二次方程整合為一般形式，幫助學(xué)生從數(shù)學(xué)符號(hào)的角度理解模型的簡(jiǎn)約和必要性，通過對(duì)“二次”條件a ≠ 0的詳細(xì)說明，進(jìn)一步明確一元二次方程的概念。學(xué)生能夠?qū)⒁辉畏匠陶沓蓸?biāo)準(zhǔn)形式，準(zhǔn)確識(shí)別方程中的各個(gè)系數(shù)，并能判斷簡(jiǎn)單符號(hào)系數(shù)方程是否為一元二次方程。

三、教學(xué)問題診斷分析

一元二次方程是學(xué)生在學(xué)習(xí)中接觸的第四類方程知識(shí)，首先在初一學(xué)習(xí)了一元一次方程，然后擴(kuò)展到二元及三元一次方程，接下來學(xué)習(xí)了二元一次方程組，初二的分式教學(xué)使學(xué)生對(duì)實(shí)際問題的表述從整式延伸到有理式，分式方程的出現(xiàn)則是第一次接觸“次”的提升。學(xué)生可能會(huì)對(duì)為何某些背景情境下的方程是二次的產(chǎn)生疑問。在教學(xué)過程中，需直面學(xué)生的疑問，引導(dǎo)他們自我解釋，這樣才能避免單純的“灌輸”，凸顯知識(shí)存在的必要性，增強(qiáng)他們的學(xué)習(xí)信心。

培養(yǎng)建模思維，提高數(shù)學(xué)符號(hào)的運(yùn)用能力，使學(xué)生自主總結(jié)一元二次方程的概念及其一般形式，對(duì)初三學(xué)生而言尤為重要。

本節(jié)的教學(xué)重點(diǎn)應(yīng)放在一元二次方程概念的形成過程上，而不是草率地給出定義后進(jìn)行重復(fù)練習(xí)，需在概念理解上深入探討。

本節(jié)的教學(xué)難點(diǎn)是理解一元二次方程的定義。

四、教學(xué)過程設(shè)計(jì)

（一）創(chuàng)設(shè)情境，引入新知

教師展示教科書章節(jié)前的插圖，要求學(xué)生閱讀章前問題并回答：

問題1. 這個(gè)方程屬于我們學(xué)過的某一類方程嗎？

師生活動(dòng)：學(xué)生整理已學(xué)過的方程類型，復(fù)習(xí)方程的概念，及“元”與“次”的定義，觀察新方程，分析此方程的“元”與“次”，嘗試為新方程命名。

【設(shè)計(jì)意圖】幫助學(xué)生意識(shí)到一元二次方程是描述某些實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型，以增強(qiáng)學(xué)習(xí)的積極性，并在已有知識(shí)框架中合理構(gòu)建新知識(shí)。

問題2. 這樣的方程在其他實(shí)際問題中是否還存在？你能再舉一個(gè)例子嗎？

師生活動(dòng)：學(xué)生思考二次項(xiàng)產(chǎn)生的原因，可能通過矩形面積的實(shí)例設(shè)計(jì)情境。

【設(shè)計(jì)意圖】鼓勵(lì)學(xué)生主動(dòng)探求一元二次方程產(chǎn)生的根源，提升他們對(duì)該概念的理解。部分學(xué)生能夠獨(dú)立構(gòu)造問題并列出方程，另一些學(xué)生則可以運(yùn)用同學(xué)提供的情境進(jìn)行方程的列出，或閱讀課本中的實(shí)際問題。

（二）拓寬情境，概括概念

給出課本中的兩個(gè)實(shí)際問題，要求學(xué)生設(shè)未知數(shù)，建立方程。

問題1. 如圖21.1-1，有一塊矩形鐵皮，長(zhǎng)100 cm，寬50 cm。在其四個(gè)角上各切去一個(gè)相同的正方形，然后將四周突出的部分折起，制作一個(gè)無蓋方盒。如果要制作的無蓋方盒的底面積為3600 cm2，那么鐵皮的各角應(yīng)切去多大的正方形？

個(gè)隊(duì)參賽，則每個(gè)隊(duì)要與其他____個(gè)隊(duì)各進(jìn)行一場(chǎng)比賽，全部比賽共有___場(chǎng)。

由此，我們可以列出方程______________，化簡(jiǎn)得________________。

問題3. 這些方程是幾元幾次方程？

師生活動(dòng)：學(xué)生將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)符號(hào)，體會(huì)數(shù)值之間運(yùn)算關(guān)系，尋找等量關(guān)系，學(xué)習(xí)建模。將所列方程化簡(jiǎn)整理，判斷出方程的次數(shù)。

【設(shè)計(jì)意圖】在建模過程中，不僅提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，也使他們更加清晰地理解二次項(xiàng)的產(chǎn)生，加深對(duì)一元二次方程的理解。讓學(xué)生回答方程的“元”與“次”，旨在幫助他們體會(huì)將方程統(tǒng)一為一般形式的必要性，并為理解概念打基礎(chǔ)，減輕教學(xué)難度。

問題4. 這些方程是什么方程？

師生活動(dòng)：觀察課堂上總結(jié)的一些方程，思考它們的共性，同學(xué)們嘗試給出一元二次方程的定義，并概括出一元二次方程的一般形式。

1. 一元二次方程的定義：

等號(hào)兩邊均為整式，只含有一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)為二次的方程稱為一元二次方程。

2. 一元二次方程的一般形式是

其中a為二次項(xiàng)系數(shù);

激發(fā)學(xué)生的思維，鼓勵(lì)從不同的角度和形式更深入地理解同一概念，使不同的學(xué)生在這一過程中各自獲得不同的收獲，實(shí)現(xiàn)分層教學(xué)的效果。

問題6. 下列方程中哪一個(gè)是一元二次方程？

例1. 下列方程中哪些是一元二次方程？

(1)

;

(3)

;

(5)

.

答案(2)(5)(6).

師生活動(dòng)：應(yīng)用概念進(jìn)行辨析，方程(3)和(4)的差異可能引發(fā)爭(zhēng)議，(3)幫助學(xué)生明確一元二次方程是整式方程，(4)讓學(xué)生體會(huì)概括為一般形式的必要性，加深對(duì)a≠0條件的理解。

【設(shè)計(jì)意圖】補(bǔ)充學(xué)生所列正反例中的不足，追問：有二次項(xiàng)的方程就一定是一元二次方程嗎？幫助學(xué)生鞏固概念，深化對(duì)一元和二次的理解。

問題7. 請(qǐng)指出下列方程的二次項(xiàng)、一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)及其系數(shù)。

例2. 將下列方程轉(zhuǎn)化為一般形式，并指出其二次項(xiàng)、一次項(xiàng)及常數(shù)項(xiàng)和系數(shù)：

(1)

師生活動(dòng)：將方程

移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)得到：

，其中二次項(xiàng)系數(shù)為3；一次項(xiàng)為

，常數(shù)項(xiàng)為

，過程略。

例3. 關(guān)于x的方程

時(shí)此為一元二次方程；

時(shí)此為一元一次方程。

【設(shè)計(jì)意圖】在面對(duì)形式較復(fù)雜的方程時(shí)，通過辨析方程的元、次、項(xiàng)來把握方程的本質(zhì)，深化理解，減少對(duì)一元二次方程概念的死記。

（四）鞏固概念，學(xué)以致用

教科書第4頁： 練習(xí)

【設(shè)計(jì)意圖】通過鞏固性練習(xí)，檢驗(yàn)學(xué)生對(duì)一元二次方程概念的掌握情況。

（五）歸納反思提升

請(qǐng)學(xué)生總結(jié)今天的課程內(nèi)容，比較之前所學(xué)的其他方程，談?wù)剬?duì)一元二次方程的認(rèn)識(shí)，并反思學(xué)習(xí)過程中的常見錯(cuò)誤。

（六）布置作業(yè)：教科書習(xí)題21.1

復(fù)習(xí)鞏固：第1，2，3題。

五、目標(biāo)檢測(cè)設(shè)計(jì)

1. 下列方程中哪些是有關(guān)x的一元二次方程：

(1)

;

(3)

.

【設(shè)計(jì)意圖】考查學(xué)生對(duì)一元二次方程概念的理解。

2. 關(guān)于

是一元二次方程，則( ).

A.

C.

【設(shè)計(jì)意圖】考查

的一元二次方程。